معرفي مکانيک مدار

تاريخچه

یکی از دلایل اولیه انسان برای سعی در فهم حرکت خورشید، ماه و سایر سیارات باور او بر آن بود که آنها کنترل تقدیرش را در دست دارند. دلایل دیگر، نیاز او برای اندازه گیری زمان و بعدها استفاده از اجرام سماوی به منظور مسیریابی بود. در سال 1601 یوهان کپلر (1571 – 1630) پس از مرگ تیکو براهه (1546 – 1601)، سرپرست رصدخانه پراگ گردید. او در آنجا به مدت 13 سال به رصد حرکت سیاره مریخ پرداخت. در سال 1609 کپلر دو قانون اول خود و در سال 1619 قانون سوم خود را بیان و آنها را به جیمز اول انگلستان تقدیم کرد. کپلر عنوان کرد که:

1. سیاره ها برروی مدارهای بیضی شکل حرکت می کنند به طوریکه خورشید در یکی از کانونهای آنها قرار دارد.
2. بردار شعاع رسم شده از خورشید تا هر سیاره ای، در زمان های مساوی مساحت های یکسان را جاروب می کند.
3. مربع دوره تناوب سیارات با مکعب نیم قطر بزرگ مدارها متناسب می باشد.

سالها بعد قوانین سه گانه حرکت نیوتن، قاعده کلی مکانیک مدار را بیان کرد:

1. جسم ساکن و یا در حال حرکت به صورت یکنواخت برروی مسیر مستقیم، حالت خود را همواره حفظ می کند مگر اینکه به آن نیرو اعمال شود.

2. اگر به جسمی به جرم m نیروی برابر با F وارد شود، جسم سرعتی برابر با v خواهد گرفت به طوریکه:

          در این معادله p = mv معرف مومنتوم می باشد. اگر m مستقل از زمان t باشد، خواهیم داشت:

          که در آن a شتاب حرکت جسم است.

3. اگر جسم 1 بر اثر گرانش خود نیرویی برابر با F12 به جسم 2 در راستای خط اتصال مراکز دو جسم وارد کند، جسم 2 نیز مشابه چنین نیروی را به اندازه F21 به جسم 1 وارد مي کند، به طوريکه F21=F12. به بیان دیگر برای هر عملی عکس العملی در راستای مخالف وجود دارد.

مکانيک مدار

با درنظر گرفتن حرکت سامانه فضایی به دور یک جسم نجومی (سیاره)، قانون دوم نیوتن می تواند به صورت زیر نوشته شود.


در این معادله بردار موقعیت از مرکز جسم نجومی تا سامانه فضایی و پارامتر جاذبه جسم نجومی با واحد km³/s² می باشد. از آنجا که بردار موقعیت در صفحه تعریف شده توسط مرکز جاذبه و بردار شتاب می باشد، می توان نتیجه گرفت که حرکت سامانه در صفحه ای با مرکزیت گرانش می باشد. حل معادله فوق، رابطه مداری را نتیجه می دهد.


که در این رابطه h مومنتوم زاویه ای نسبی سامانه فضایی و یا به بیانی مومنتوم زاویه ای ویژه است و واحد آن km²/s مي باشد. e شاخص کشیدگی مدار فضایی (اندازه بردار ) و آنومالی حقیقی است که زاویه بین بردار ثابت و بردار متغییر می باشد.

معادله مداری نشان دهنده آن است که مسیر حرکت یک جسم نسبت به جسم دیگر مشابه شکل یکی از مقاطع مخروطی است که نوع آن به وسیله مقدار شاخص کشیدگی تعیین می گردد.

همچنین ساده سازی معادله قانون دوم نیوتن نشان می دهد:

يا:


که در آن مقداری ثابت است. v²/2 انرژی جنبشی نسبی بر واحد جرم بوده و انرژی پتانسیل بر واحد جرم m₂ تحت تاثیر جرم m₁ است. کل انرژی مکانیکی بر واحد جرم برابر با مجموع دو انرژی ذکر شده است. معادله فوق شکلی از قانون پایستاری انرژی است که عنوان می کند کل انرژی مکانیکی یک جسم در طول حرکت برروی مدار فضایی (انرژی ویژه) مقداری ثابت می باشد. این معادله به معادله انرژی نیز شهرت دارد و برای هر مدار فضایی صادق است.

مدار دايروي

مدار بيضوي

مدار سهمي

مدار هذلولي

پارامترهاي مداري

تعیین مدار فضایی در صفحه نیاز به دو پارامتر دارد: شاخص کشیدگی و مومنتوم زاویه ای. مشخصات دیگر مدار از جمله نیم قطر بزرگ، انرژی ویژه و پریود مداری از روی این دو پارامتر قابل محاسبه هستند. تعیین نقطه روی مسیر مدار، نیازمند پارامتر سوم آنومالی حقیقی است که فاصله زمانی از نقطه حضیض را نیز مشخص می کند. توصیف چرخش مدار فضایی در فضای سه بعدی به سه پارامتر فضایی دیگر نیاز دارد که به زوایای اویلر معروف هستند و در شکل زیر نشان داده شده اند.

زاویه i بین صفحه مداری و صفحه استوای زمین به شیب مداری معروف است. شیب مداری در تلاقی صفحه استوای زمین و صفحه مداری در جهتی که سامانه فضایی از جنوب به شمال در حال گذر از صفحه استوا است قابل محاسبه می باشد. خط حاصل از برخورد این دو صفحه، خط گره صعودی نام دارد. شیب مداری با زاویه بین بردار مومنتوم زاویه ای h و محور K دستگاه مختصات اینرسی نیز برابر است.
مقدار عددی زاویه i بین 0 تا 180 درجه می باشد. در نگاه اول به نظر می رسد با این بازه، دسته زیادی از مدارهای فضایی نادیده گرفته شده اند. با این وجود، جهت حرکت سامانه فضایی به دور زمین در این دیدگاه مد نظر قرار نگرفته است. در صورت حرکت سامانه از غرب به شرق، مدار فضایی یک مدار مستقیم تلقی می شود. در حالی که اگر سامانه فضایی از شرق به غرب حرکت کند، مدار فضایی یک مدار برگشتی (پس رونده) خواهد بود. پس از مشخص شدن نوع حرکت سامانه (مستقیم یا برگشتی) شیب مداری i قابل تعیین در بازه ذکر شده خواهد بود.
دو پارامتر مداری دیگر، طول جغرافیایی گره صعودی و آرگومان حضیض می باشد که از جمله پارامترهای کلاسيک مداری هستند. این زوایا بوسیله رابطه هندسی بین دستگاه مختصات اینرسی و دستگاه مختصات مداری تعریف شده اند. ، طول جغرافیایی گره صعودی , زاویه اندازه گیری شونده در صفحه مداری بین محور X از دستگاه مختصات اینرسی و خط گره صعودی است. آرگومان حضیض زاویه اندازه گیری شونده در صفحه مداری بین خط گره صعودی و بردار شاخص کشیدگی است. هر دو زاویه بین 0 تا 360 درجه متغییر هستند.

در مجموع شش پارامتر مداری کلاسیک عبارتند از:

1. a : نیم قطر بزرگ (و یا در تعریف دیگر h : مومنتوم زاویه ای مدار فضایی)
2. i : شیب مداری
3. : زاویه گره صعودی
4. e : شاخص کشیدگی
5. : آرگومان حضیض
6. : آنومالی حقیقی

سه پارامتر مداری i, و نحوه چرخش مدار فضایی در دستگاه مختصات اینرسی IJK را نشان می دهند اما اطلاعاتی از شکل مدار فضایی و یا مقدار نیم قطر بزرگ نمی دهند. از این رو دو پارامتر نیم قطر بزرگ و شاخص کشیدگی نیز به عنوان پارامترهای مداری کلاسیک شناخته می شوند که شکل مدار را تعیین می کنند. پارامتر مداری ششم (آنومالی حقیقی ) نیز معرف موقعیت سامانه فضایی در مدار فضایی بوده که می توان از آن در تعیین فاصله زمانی سامانه از نقطه حضیض استفاده نمود.

مراجع

• Curtis, H. (2010). Orbital mechanics for engineering students. 2st ed. Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann
• Chobotov, V. (2002). Orbital mechanics. 1st ed. Reston, Va.: American Institute of Aeronautics and Astronautics
• Sidi, M. (1997). Spacecraft dynamics and control. 1st ed. Cambridge: Cambridge University Press
• Madonna, R. (1997). Orbital mechanics. 1st ed. Malabar, Fla.: Krieger Pub. Co
• Prussing, J. and Conway, B. (1993). Orbital mechanics. 1st ed. New York: Oxford University Press
• Bate, R., Mueller, D. and White, J., (1971). Fundamentals of astrodynamics. 1st ed. New York: Dover Publications